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考研数学:浅谈均值不等式

发布日期:2021-04-07 09:53:47  来源:上海中公考研

   均值不等式是我们初数一个非常重要的考点,为什么说重要呢,一方面是应为它作为一个知识点,无论单独出题还是和其他内容结合,比如与一元二次相关知识,或者是解几何,应用题等,都是可以出题的,应用范围很广;另一方面,我们结合历年试题发现,均值不等式可能是一个难题的出处,因为其涉及到的具体需要注意的点还是比较多的,是代数模块核心内容。接下来我们来看看均值不等式涉及到的题型以及相关解题思路与注意事项。

对于均值不等式来说,大家现阶段需要记忆是我们常用的两个形式,两个数:,三个数:,并且这里要求参与运算的都是正实数。虽然这个形式看起来比较简单,但是我们在运用是往往会出现一些问题,那是应为在运用均值不等式时候,我们要一些需要注意的点往往不太清晰,也就是对我们说的口诀:一正,二定,三相等,没做到深刻把握,灵活运用。

首先一正,也就是我们说的参与运算的数都是正实数,这里是大家不能忽略的前提条件,当然,我们对于一些题目可能不会直接给你满足条件的数,需要自己构造,比如对于求 的最值,那么就要大家灵活处理一正这个前提,给字母加负号,凑出一正。

那对于二定,也就是我们在运用均值不等式时候的核心了,需要求的是和,那么就是找积的定值,反过来,如果求的是积,那么需要找和的定值,比如刚才的例子,很明显就是求和的定值,那么自然让两个代数式相乘,也就是找积的定值。我们在考试时候可能不会那么容易让大家找到这个定值,就需要灵活运用代数式的运算,凑数需要的形式比如对于19考研:

设函数 内的最小值为 ,求 的值。

对于本题,一方面是需要大家反应过来是用到三个数的均值不等式,另一方面需要大家自己构造积的定值形式,需要将2x拆成x+x在运用均值不等式。

对于三相等,也就是当且仅当参与运算的数都相当时候,均值不等式等号取得,那么大家需要注意的是,等号能不能取得到的问题,这个点在20考研是给出了:

设a,b是正实数,则 存在最小值。

(1) 已知ab的值

(2) 已知ab是方程 的不同实根。

这题其实当时很多学生选择了C选项,我们知道经过运算是当且仅当 时等号成立,取到最值,但是对于条件(2)来说,a,b 是不同实根,不能取到等号,显然条件(2)不充分,所以大家在做题时候一定要留心这个取等条件以及题干给出的信息。

把握一正,二定,三相等之后,只要对于具体题目具体分析即可,那均值不等式的大部分题目其实都是在求一个最值,就是求等号成立时候的情况,这个一种求最值的题型;另外就是证明,这块试题考察的形式并不是很多,就是利用均值不等式的形式来证明一些其他复杂的不等式,最后就是均值不等式可能与应用题结合,比如求面积最值,求利润最值等,这里无非是将具体问题转化为数学语言,运用均值不等式求最值,本质还是最值问题,可能具体的转化过程需要大家熟悉并加以练习。

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